Первая часть задачи. Без всякого там моделирования !
Задача о RLC цепи. Фактически к RL-цепи подключается конденсатор C, заряженный до напряжения U. Дифф. уравнение для начальных условий :
L * (di/dt(0)) + R*i(0) + Uн = 0.
Здесь и далее Uн - то напряжение, до которого был заряжен конденсатор.
Далее процесс описывается диф. уравнением 2-го порядка.
L * di/dt + 1/C * "интеграл от Uн до 0" i(t)*dt + R*i(t) = 0
Конденсатор разряжается на этой RL-цепи.
А теперь то же самое, но в операторной форме :
(R + pL) * I(p) = Uс(p).
Здесь Uc(p) - напряжение на конденсаторе в течение всего этого бесконечного (Hi !) процесса его разрядки.
Uc(p) = Uн/p - (1/pC)*I(p).
Имеется две составляющие : первая - операторный вид "Эта-функции", описывающий момент подключения конденсатора, вторая составляющая - процесс его разрядки.
Теперь это подставляю в предыдущую формулу. Получается :
(R+pL)*I(p) = Uн/p - (1/pC)*I(p)
Далее преобразую :
(R + pL +1/pC) * I(p) = Uн/p ;
I(p) = Uн / [ L*p^2 + R*p + 1/C] ........................(1)
А ведь пришли все к той же модели о подключении RLC-цепи к источнику постоянного напряжения E, но у нас тут это E = Uн ! Это только для тока в цепи справедливо. Напряжение на конденсаторе (как дальше у меня выведено) в этом случае иначе меняется.
Теперь находим вычиты для уравнения (1).
L*p^2 + R*p + 1/C = 0
Из этого примитивного квадратного уравнения находим :
p1 = -(R/(2*L)) + sqrt [ (R/(2*L))^2 - 1/(L*C) ]
p2 = -(R/(2*L)) - sqrt [ (R/(2*L))^2 - 1/(L*C) ]
А вот тут самое интересное : выражение под корнем. Если оно меньше нуля, то корни комплексные - здесь будут затухающие по экспоненте колебания. Если больше - аппериодический процесс (только экспоненты).
Перед тем, как утверждать что тут не будет колебаний, подставьте свои величины для R, L и C в неравенство : ((R^2)*C)/(4*L) > 1. Если действительно больше 1 - то нет колебаний. А если меньше, то корни будут такие :
p1 = -q + jw
p2 = -q - jw
А вот и колебания :
q = R/(2*L)
w = sqrt[ -q^2 + 1/(L*C) ] = sqrt[ w0^2 - q^2],
где w0=1/sqrt(L*C) - циклическая частота колебаний.
При переходе от изображения к оригиналу придем к комплексным экспонентам, которые и дадут при дальнейших преобразованиях выражений привычный нам sin.
А нам как я понял интересен случай аппериодического процесса, когда вычиты у нас вещественные. Вычисляете численные значения p1 и p2. А теперь переходим от изображения тока в цепи I(p) к его оригиналу I(t).
Очень просто тут перейти для случая функции вида I(p) = F1(p)/F2(p) :
у нас F1(p) - константа, а F2(p) = p^2*L + R*p +1/C ..............(2)
Переход делается по формуле
I(t) = "Cумма по кол-ву вычитов от" F1(pk)*exp(pk*t)/F2'(pk), где pk - k-ый вычит
Производная от (2) будет такой :
F2'(p) = 2*p*L + R.
А теперь получаем ОТВЕТ на вопрос о токе в цепи в момент времени t :
-----------------------------------------------------------------------------
I(t) = [ Uн*exp(p1*t) ]/( 2*p1*L + R) + [ Uн*exp(p2*t) ]/( 2*p2*L + R).
-----------------------------------------------------------------------------
Подставляете туда полученные p1 и p2, значения R и L, а также Uн. Находите ток в интересующий момент времени t. Во избежании ошибок все величины до подстановок переводите в одну систему - CИ, СГС, ...Если обратная задача, то есть нахождение времени, в который ток I(t) достигнет нужного значения, то по этой же формуле находим. Либо Matlab используя, либо простенькую прогу на Си написать...
Вторая часть. Напряжение на конденсаторе.
Uc(p) = I(p) * [ 1/(p*C) ].
Uc(p) = Uн / [ (p*C)*[ L*p^2 + R*p + 1/C] ] ........................(3)
тут уже три вычита будет - первые такие же как и для (1), т.е. p1 и p2 - мы их уже нашли, а третий - это p0 = 0.
F2'(p) для (3) запишется в виде :
F2'(p) = 3*p^2*L*C + 2*R*C*p + 1.
Переходя для (3) от изображения к оригиналу по описанной выше методе получаем ОТВЕТ на второй вопрос задачи.
-----------------------------------------------------------------------------
Uc(t) = [ Uн*exp(p0*t) ]/( 3*p0^2*L*C+2*R*C*p0+1 ) +
+ [ Uн*exp(p1*t) ]/( 3*p1^2*L*C+2*R*C*p1+1 ) +
+ [ Uн*exp(p2*t) ]/( 3*p2^2*L*C+2*R*C*p2+1 ).
-----------------------------------------------------------------------------
Но это еще не все.
А теперь подставив p0 = 0 получаем окончательный ОТВЕТ.
-----------------------------------------------------------------------------
Uc(t) = Uн + [ Uн*exp(p1*t) ]/( 3*p1^2*L*C+2*R*C*p1+1 ) +
+ [ Uн*exp(p2*t) ]/( 3*p2^2*L*C+2*R*C*p2+1 ).
-----------------------------------------------------------------------------
Изначально у нас Uc(t) = Uн, а затем оно будет уменьшаться согласно этой формуле по экспоненте. У двух других членов этой суммы знак будет "-" - вы это получите, когда подставите численные значения для p1 и p2.
Пожелание администратору сервера
Вот было бы здорово, если бы можно было вписывать математическую символику и чтоб она красиво смотрелась. Это можно было бы сделать по той же технологии, по которой вставляются смайлики. Во всяком случае это облегчит жизнь тем, кто в инженерном форуме пишет формулы и их читает !
Математическая модель дуги с инертными электродами
Смотрел вчера такую модель, но у себя нашел, увы, не то. Это был расчет, касающийся оценки эффективности освещения от электрической дуги на графитовых, т.е. сгораемых электродах. Для той дуги сопротивление определялось именно несгоревшей частью этих длинных электродов. А что касается инертных электродов, то тут надо еще посмотреть. По ссылке, которую дал Борис_II приводятся только ВАХ и цифры. Никаких там моделей не дано. А вообще, откуда там эти графики ? У меня такое чувство, что они найдены эмпирическим путем. Доверять я им бы особо не стал.