Колебательный контур. Помогите с математикой

[kalexn]

[QUOTE]Автор оригинала CO2040
А вот и неправда. Все эти моделировщики - полнейшая лажа. Я никогда ими не пользуюсь.

PSpice - отличный моделировщик, это экономит столько времени. Все наглядно видно, а многие процессы в схемотехнике застрелишься описывать формулами.

[Dimitris]

Спору нет, как это сваять на PSpice ?
Но даже в отличный моделировщик мне каким-то образом нужно "вклиниться" и указать ему, напр. , при каком напряжении зажжется дуга при разрыве цепи дросселя. Как это сделать?

[Юрий Алексеевич]

"Чистая" математика была, есть и будет фундаментом настоящего и грядущего всепобеждающего математического моделирования. Вы, Dimitris, моделируете - значит всё решите. Только аналоги вдумчиво подбирайте. В этом и состоит изюминка моделирования в аналоговой части.
С уважением Юрий Алексеевич.

[Drix]

Очень ценный совет....

[Dimitris]

Ну почему же - бесценный !

[Юрий Алексеевич]

Dimitris, для моделирования в качестве аналога дуги можно взять туннельный диод, у них сходные ВАХи на большом протяжении кривой от точки "зажигания" до нижней экстремальной точки диода, например 1И304, ГИ304.
С уважением Юрий Алексеевич.

[Dimitris]

В моем случае параметры сварки, тобишь дуги, - последующий этап !
Мне дифур нужен !!!
Параметры контура мне известны, тут маневры исключены.
Необходимо знать траектории напряжений и токов, в пределах которых моя задача осуществима!

[Михаил]

Кстати, если без дуги, C подключается к LR и процесс апериодический, то вся энергия быстро рассеивается на R , это надо?

[Dimitris]

Отнюдь, Михаил!
По физике процесса: Электрод замыкает сварочную цепь (контур замкнулся). Если электрод не отвести до окончания апериодического процесса (не зажечь дугу) , вся энергия конденсатора уйдет в нагрев контактного соединения двух деталей - получим вместо дуговой сварки КОНТАКТНУЮ.
Вот такая фигня получается.
Так что нужно четко знать
- сколько длится весь апериодический процесс
- когда (в каком) месте его прекратить

[LY1CE]

Автор оригинала Dimitris
Так что нужно четко знать
- сколько длится весь апериодический процесс
- когда (в каком) месте его прекратить

В таком случае Dimitris, я пожалуй соглашусь с Ю.А.
Для такой задачи моделирование - самое то.
Если хотите - пришлите мне параметры контура - я верну Вам графики процессов полученные на MicroCap 7.0.
А по ним и определите, когда этот злосчастный электрод отрывать надо
А вот дальше - модели дуги к сожалению у меня нет.
Но если представите модель дуги в PSPICE - тогда можно и дальше.
Первую часть задачи конечно можно решить и аналитически,
но смоделировать будет быстрее.

[CO2040]

Задача о RLC цепи. Фактически к RL-цепи подключается конденсатор C, заряженный до напряжения U. Дифф. уравнение для начальных условий :
L * (di/dt(0)) + R*i(0) + Uн = 0.
Здесь и далее Uн - то напряжение, до которого был заряжен конденсатор.
Далее процесс описывается диф. уравнением 2-го порядка.
L * di/dt + 1/C * "интеграл от Uн до 0" i(t)*dt + R*i(t) = 0
Конденсатор разряжается на этой RL-цепи.
А теперь то же самое, но в операторной форме :
(R + pL) * I(p) = Uс(p).
Здесь Uc(p) - напряжение на конденсаторе в течение всего этого бесконечного (Hi !) процесса его разрядки.
Uc(p) = Uн/p - (1/pC)*I(p).
Имеется две составляющие : первая - операторный вид "Эта-функции", описывающий момент подключения конденсатора, вторая составляющая - процесс его разрядки.
Теперь это подставляю в предыдущую формулу. Получается :
(R+pL)*I(p) = Uн/p - (1/pC)*I(p)
Далее преобразую :
(R + pL +1/pC) * I(p) = Uн/p ;

I(p) = Uн / [ L*p^2 + R*p + 1/C] ........................(1)

А ведь пришли все к той же модели о подключении RLC-цепи к источнику постоянного напряжения E, но у нас тут это E = Uн ! Это только для тока в цепи справедливо. Напряжение на конденсаторе (как дальше у меня выведено) в этом случае иначе меняется.
Теперь находим вычиты для уравнения (1).

L*p^2 + R*p + 1/C = 0

Из этого примитивного квадратного уравнения находим :

p1 = -(R/(2*L)) + sqrt [ (R/(2*L))^2 - 1/(L*C) ]
p2 = -(R/(2*L)) - sqrt [ (R/(2*L))^2 - 1/(L*C) ]

А вот тут самое интересное : выражение под корнем. Если оно меньше нуля, то корни комплексные - здесь будут затухающие по экспоненте колебания. Если больше - аппериодический процесс (только экспоненты).
Перед тем, как утверждать что тут не будет колебаний, подставьте свои величины для R, L и C в неравенство : ((R^2)*C)/(4*L) > 1. Если действительно больше 1 - то нет колебаний. А если меньше, то корни будут такие :
p1 = -q + jw
p2 = -q - jw
А вот и колебания :
q = R/(2*L)
w = sqrt[ -q^2 + 1/(L*C) ] = sqrt[ w0^2 - q^2],
где w0=1/sqrt(L*C) - циклическая частота колебаний.
При переходе от изображения к оригиналу придем к комплексным экспонентам, которые и дадут при дальнейших преобразованиях выражений привычный нам sin.
А нам как я понял интересен случай аппериодического процесса, когда вычиты у нас вещественные. Вычисляете численные значения p1 и p2. А теперь переходим от изображения тока в цепи I(p) к его оригиналу I(t).
Очень просто тут перейти для случая функции вида I(p) = F1(p)/F2(p) :
у нас F1(p) - константа, а F2(p) = p^2*L + R*p +1/C ..............(2)
Переход делается по формуле
I(t) = "Cумма по кол-ву вычитов от" F1(pk)*exp(pk*t)/F2'(pk), где pk - k-ый вычит
Производная от (2) будет такой :
F2'(p) = 2*p*L + R.
А теперь получаем ОТВЕТ на вопрос о токе в цепи в момент времени t :
-----------------------------------------------------------------------------
I(t) = [ Uн*exp(p1*t) ]/( 2*p1*L + R) + [ Uн*exp(p2*t) ]/( 2*p2*L + R).
-----------------------------------------------------------------------------
Подставляете туда полученные p1 и p2, значения R и L, а также Uн. Находите ток в интересующий момент времени t. Во избежании ошибок все величины до подстановок переводите в одну систему - CИ, СГС, ...Если обратная задача, то есть нахождение времени, в который ток I(t) достигнет нужного значения, то по этой же формуле находим. Либо Matlab используя, либо простенькую прогу на Си написать...
Вторая часть. Напряжение на конденсаторе.
Uc(p) = I(p) * [ 1/(p*C) ].

Uc(p) = Uн / [ (p*C)*[ L*p^2 + R*p + 1/C] ] ........................(3)

тут уже три вычита будет - первые такие же как и для (1), т.е. p1 и p2 - мы их уже нашли, а третий - это p0 = 0.
F2'(p) для (3) запишется в виде :
F2'(p) = 3*p^2*L*C + 2*R*C*p + 1.

Переходя для (3) от изображения к оригиналу по описанной выше методе получаем ОТВЕТ на второй вопрос задачи.
-----------------------------------------------------------------------------
Uc(t) = [ Uн*exp(p0*t) ]/( 3*p0^2*L*C+2*R*C*p0+1 ) +
+ [ Uн*exp(p1*t) ]/( 3*p1^2*L*C+2*R*C*p1+1 ) +
+ [ Uн*exp(p2*t) ]/( 3*p2^2*L*C+2*R*C*p2+1 ).
-----------------------------------------------------------------------------
Но это еще не все.
А теперь подставив p0 = 0 получаем окончательный ОТВЕТ.
-----------------------------------------------------------------------------
Uc(t) = Uн + [ Uн*exp(p1*t) ]/( 3*p1^2*L*C+2*R*C*p1+1 ) +
+ [ Uн*exp(p2*t) ]/( 3*p2^2*L*C+2*R*C*p2+1 ).
-----------------------------------------------------------------------------
Изначально у нас Uc(t) = Uн, а затем оно будет уменьшаться согласно этой формуле по экспоненте. У двух других членов этой суммы знак будет "-" - вы это получите, когда подставите численные значения для p1 и p2.

[CO2040]

Вот было бы здорово, если бы можно было вписывать математическую символику и чтоб она красиво смотрелась. Это можно было бы сделать по той же технологии, по которой вставляются смайлики. Во всяком случае это облегчит жизнь тем, кто в инженерном форуме пишет формулы и их читает !

[CO2040]

Смотрел вчера такую модель, но у себя нашел, увы, не то. Это был расчет, касающийся оценки эффективности освещения от электрической дуги на графитовых, т.е. сгораемых электродах. Для той дуги сопротивление определялось именно несгоревшей частью этих длинных электродов. А что касается инертных электродов, то тут надо еще посмотреть. По ссылке, которую дал Борис_II приводятся только ВАХ и цифры. Никаких там моделей не дано. А вообще, откуда там эти графики ? У меня такое чувство, что они найдены эмпирическим путем. Доверять я им бы особо не стал.

[Dimitris]

Низкий поклон, CO2040 !
Благодарности моей нет границ.
Приятно удивлен, что "лапласить" такие задачи намного наглядней и изящнее (миль пардон, недостаток теоретического опыта).
Что до ссылки, которую привел Борис_II, то она оказалась чрезвычайно полезной, еще раз спасибо ему. Причем не по ВАХ дуги, а по остальной информации, в т. ч. междустрочной, потому что мой класс сварочного оборудования там описан не был.
Что до ВАХ дуги - не думаю, что это продукт физиков плазмы, скорее всего их снимали через нагрузочную характеристику самих сварочных девайсов: одупление дуги с точки зрения сварочного аппарата.
Что до модели дуги - мне все равно придется рутинить эмпирику для подбора параметров сварки, главное - я теперь четко смогу очертить область безопасной работы.
Спасибо огромное за благородный труд.

[CO2040]

Кстати, по приведенным эмпирическим графикам можно подобрать функцию, например, с помощью их интерполяции полиномами 3-5 порядка. Все очень наглядно можно проделать, используя Matlab. Возможно, потом окажется что и 2-го порядка хватит. По приведенным мною формулам для RLC особо внимательно пройдитесь. Лучше все на бумажке в "нормальной человеческой форме" переписать. Из-за отсутствия средств отображения мат. символики может быть неверная интерпретация формул. А лучше чем у Бессонова в книжке все же не написать ! Проверьте формулы, если попадется книжка. Ибо я их выводил "на ходу", но вроде сам все проверил, подкорректировл пропущенные символы, правильность расстановки скобок, сейчас кажется в этих всех выкладках ошибок нет.